高二上📈 函數3 / 3
正弦疊合求最值
公式 / 模板
a·sinθ + b·cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ)
把 sin 和 cos 的混合式合併成單一個正弦波，最大值就是振幅 √(a²+b²)。
步驟
- 1確認式子是 a·sinθ + b·cosθ 的形式（同一個角度）。
- 2計算振幅 R = √(a² + b²)，R 一定取正值。
- 3最大值就是 R、最小值是 −R。
- 4若題目要求發生在哪個角度，再用 cosφ = a/R、sinφ = b/R 定出 φ。
- 5注意定 φ 時要同時看 cos 與 sin 的正負，只用 tan 會選錯象限。
跟著做一次
題目
3sinθ + 4cosθ
最大值是多少？
- 1.R = √(9+16) = √25 = 5。
- 2.最大值 = R = 5。
答案5
題目
5sinθ − 12cosθ
最小值是多少？
- 1.R = √(25+144) = 13。
- 2.最小值 = −R = −13。
答案-13
換你試試
8sinθ + 6cosθ 的最大值是多少？