高三上∫ 微積分2 / 2
相關變化率的解題流程
公式 / 模板
先微分，再代數值——順序不能顛倒
兩個量有關係，變化率也有關係。關鍵原則是務必先對時間微分完，才代入瞬間的數值。
步驟
- 1畫圖，標出哪些量在變、哪些量固定不變。
- 2寫出變數之間的關係式（幾何公式、畢氏定理、相似形）。
- 3只有永遠不變的量才可以先代數字，會變的量必須保持是變數。
- 4兩邊同時對時間 t 微分，含變數的項要用連鎖律。
- 5這時才把瞬間的數值代進去。
- 6檢查單位，並注意減少的量其變化率是負的。
跟著做一次
題目
正方形邊長以 2 cm/s 增加。
邊長 5 cm 時面積的變化率是多少 cm²/s？
- 1.關係式 A = s²。
- 2.對 t 微分：dA/dt = 2s·(ds/dt)。
- 3.代入 s = 5、ds/dt = 2：2(5)(2) = 20。
答案20
題目
球形氣球半徑以 1 cm/s 增加。
半徑 3 cm 時體積變化率是幾倍的 π？（填係數）
- 1.V = (4/3)πr³。
- 2.dV/dt = 4πr²·(dr/dt)。
- 3.代入 r = 3、dr/dt = 1：4π(9)(1) = 36π。
答案36
換你試試
圓半徑以 2 cm/s 增加，半徑 5 cm 時面積變化率是幾倍的 π？（填係數）