遲到三分鐘的數學
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
小妍每天騎腳踏車上學。從家裡到學校三公里，她騎得不快不慢，大約每小時十二公里。
有一天早上她多睡了五分鐘，出門時只剩十二分鐘。她一邊踩踏板一邊算：來得及嗎？
用的公式，時間等於路程除以速率。三除以十二等於零點二五小時。零點二五小時是多少分鐘？這裡就是最容易出錯的地方——不是二十五分鐘，是零點二五乘六十等於十五分鐘。
十五分鐘 > 十二分鐘。照這個速度騎，她會遲到三分鐘。
「那我騎快一點就好了。」小妍想。但要多快？
反過來算：十二分鐘等於零點二小時，路程三公里，速率等於三除以零點二，也就是每小時十五公里。她得比平常快三公里的時速。
這一步她算的時候差點又出錯。速率的單位是「每小時」，時間就一定要用小時；如果直接拿三除以十二分鐘，會得到一個完全沒有意義的數字。單位對不上，答案就一定錯——這是那類問題最常見的失分點。
有趣的是，速率和時間的關係是反比：路程固定的時候，速率變成一點二五倍，時間就變成原來的零點八倍。小妍原本要騎十五分鐘，乘以零點八，剛好是十二分鐘。兩種算法答案一樣，因為它們講的是同一件事。
那天她騎快了一點，剛好在鐘響前衝進校門。
放學回家的路上她騎得很慢，慢慢想著一件事：如果去程每小時十五公里、回程每小時十公里，那來回的「平均速率」是多少？她本來想寫十二點五——就是兩個速率加起來除以二。但總覺得哪裡怪怪的。
隔天她拿去問老師。老師說：平均速率是總路程除以總時間，不是兩個速率的平均。去程三公里花零點二小時，回程三公里花零點三小時，總共六公里、零點五小時，平均是每小時十二公里，不是十二點五。
「因為你騎得慢的那一段，花的時間比較長，它對平均的影響比較大。」
小妍愣了幾秒，然後笑了。原來連「平均」這麼熟的詞，都還有她沒想過的地方。這跟的定義有關——平均永遠是「總量除以份數」，重點是先看清楚，要平均的到底是什麼。