民調說的「誤差正負三」是什麼意思
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
新聞主播念得很快：「本次民調，甲候選人支持度 45%，乙候選人 43%，抽樣誤差正負 3 個百分點。」然後畫面切到分析：「甲以兩個百分點領先。」
這句話是錯的。
45% 加減 3，真值大約在 42% 到 48% 之間。43% 加減 3，大約在 40% 到 46% 之間。兩個區間**重疊了一大塊**。當差距（2 個百分點）小於誤差界限（3 個百分點）時，統計上不能說誰領先——這在裡是最基本的判讀原則，卻幾乎每次選舉都被誤讀。
那個「正負 3」到底怎麼來的？
民調不可能問遍所有人，只能抽樣本。樣本會有隨機波動，所以我們用**信賴區間**來表達不確定性：樣本統計量加減一個誤差界限。
這裡有一個常見誤解值得說清楚。「95% 信賴區間」**不是**「真值有 95% 的機率落在這個區間」。真值是固定的，它要嘛在裡面要嘛不在。正確的意思是：用同樣的方法重複抽樣一千次，大約有 950 次算出來的區間會蓋住真值。隨機的是我們抽到的樣本，不是真值。
誤差界限跟樣本數的關係是 1 除以根號 n。這個平方根很關鍵：要讓誤差減半，樣本數不是變兩倍，而是要變**四倍**。
所以抽 1000 人的誤差大約 3%，想降到 1.5% 要抽 4000 人，想降到 0.75% 要抽 16000 人。成本翻倍再翻倍，精度卻只是慢慢改善。這就是為什麼絕大多數民調都停在一千多份——再往上做，CP 值急遽下降。
不過樣本數不是唯一，甚至不是最重要的問題。
1936 年美國《文學文摘》做了一次規模驚人的民調，回收超過兩百萬份問卷，預測蘭登會大勝羅斯福。結果羅斯福以壓倒性優勢當選。兩百萬份樣本，錯得離譜。
原因是名單來自電話簿和汽車登記——在大蕭條時期，買得起電話和汽車的人，政治傾向明顯偏向某一邊。樣本再大，只要沒有**代表性**，就無法推論母體。這叫選擇偏差，它比樣本太小危險得多，因為大樣本會給人一種虛假的可靠感。
同一個道理放到今天：在某個社群平台上做的網路投票，收到十萬份也不能代表全體國民，因為會去點那個投票的人本來就不是隨機的一群。
所以看到民調時，值得問三件事：樣本數多少、誤差界限多少、以及**怎麼抽樣的**。第三個問題最少人問，卻最重要。
至於為什麼會在這裡出現——那是因為當樣本夠大時，樣本比例的分布會趨近常態，這讓我們能算出「離平均幾個標準差」對應多少機率。68–95–99.7 法則就是誤差界限的來源。
下次再聽到「以兩個百分點小幅領先」，你可以在心裡默默補一句：在誤差範圍內，這叫平手。